Jarred Sumner ei ole matemaatikko. Silti juuri tämä Anthropicin työntekijä antoi yhtiön julkaisemattomalle tutkimusversiolle Claudesta tarkoituksella kohtuuttoman tehtävän: ”Take a real stab at the Riemann hypothesis” eli englanniksi suunnilleen ”yritä tosissasi ratkaista Riemannin hypoteesi”.
Ensimmäinen yritys epäonnistui. Claude kävi läpi 650 ideaa, eikä yksikään toiminut. Toisella kierroksella se jakoi työn noin 60 aliagentille, ajoi 2 400 komentorivikomentoa ja satoja Python-skriptejä ja latasi 54 arXiv-artikkelia varmistaakseen, ettei sen löytämä ollut jo tunnettua. Anthropicin mukaan Sumnerin osuus jäi lähinnä kannustusviesteihin, joista useimmat olivat muunnelmia lauseista ”keep going” ja ”believe in yourself”.
Hypoteesi jäi todistamatta. Claude todisti kuitenkin uuden tuloksen kysymykseen, jota lukuteoreetikot ovat nakertaneet vuosikymmeniä: kuinka suuri osa Riemannin zeetafunktion nollakohdista on varmasti kriittisellä suoralla. Anthropicin elokuussa julkaiseman tutkimuskirjoituksen mukaan osuus nousi 41,6 prosentista 67,2 prosenttiin. Työhön kului kaksi Claude Code -istuntoa ja 31 miljoonaa tuotettua tokenia.
Miksi yksi suora on niin tärkeä
Zeetafunktion nollakohdat ovat pisteitä, joissa funktio saa arvon nolla. Ne liittyvät suoraan siihen, miten alkuluvut jakautuvat muiden lukujen joukkoon. Bernhard Riemann arveli vuonna 1859, että kaikki niin sanotut ei-triviaalit nollakohdat sijaitsevat samalla viivalla, jota kutsutaan kriittiseksi suoraksi.
Jos Riemann oli oikeassa, alkuluvut ovat niin säännöllisesti jakautuneita kuin ne ylipäätään voivat olla. Suuri joukko muita lukuteorian tuloksia on todistettu olettaen, että hypoteesi pitää. Clayn matematiikkainstituutti on luvannut todistuksesta miljoonan dollarin palkkion.
Koska koko hypoteesi on pysynyt ulottumattomissa, matemaatikot ovat yrittäneet todistaa sitä pala kerrallaan. Jos kaikkia nollakohtia ei saada suoralle, kuinka suuren osan saa? Norman Levinson osoitti vuonna 1974, että vähintään kolmasosan. Brian Conrey nosti rajan vuonna 1989 yli kahteen viidesosaan. Sen jälkeen eteneminen oli hidasta. Viimeisin ennätys oli viisi kahdestoistaosaa eli noin 41,6 prosenttia, vain vähän enemmän kuin Conreyn luku.
“Emme odota, että Clauden käyttämät tekniikat johtaisivat Riemannin hypoteesin todistamiseen.”
Kuka tuloksen tarkisti?
Kun väite tulee tekoälyä myyvältä yhtiöltä, tarkistuksella on väliä. Ensimmäisenä Clauden paperin kävivät läpi Anthropicin omat matemaatikot Levent Alpöge ja Ralph Furman. He kirjoittivat tuloksesta myös oman versionsa, joka julkaistiin arXiv-palvelussa elokuussa otsikolla ”More than two thirds of the zeta zeros are simple and on the critical line”.
Paperin mukaan vähintään kaksi kolmasosaa nollakohdista on yksinkertaisia ja kriittisellä suoralla. Tulos on todistettu ehdoitta eli olettamatta itse hypoteesia. Hienosäädetyllä menetelmällä osuus nousee 67,25 prosenttiin.
Ulkopuolista arviota Anthropic pyysi kahdelta alan tunnetulta tutkijalta, Brian Conreylta ja Dan Goldstonilta. Yhtiön mukaan he tarkastivat paperin ”lyhyellä varoitusajalla”. Conreyn arviolla on painoa, koska Conrey on sama tutkija, jonka vuoden 1989 tulos pysyi pitkään alan vertailukohtana. Goldstonin tutkimusryhmän viimeaikaiset artikkelit taas olivat yksi pohjista, joiden päälle Claude rakensi. Anthropicin kirjoituksessa ei ole kummankaan omia sitaatteja.
Kolmas tarkistaja on kone. Todistuksesta on Lean-kielellä kirjoitettu formaali versio, jonka tietokone käy läpi päättelyaskel kerrallaan. Julkisen koodivaraston mukaan ratkaisussa ei ole avoimeksi jätettyjä kohtia. Formaali tarkistus ei kerro, onko tulos tärkeä, mutta se kertoo, ettei päättelyssä ole virhettä.
Mitä tulos ei tarkoita
Riemannin hypoteesi on edelleen todistamatta. Hypoteesi vaatii, että kaikki nollakohdat ovat suoralla, ja uusi tulos kattaa kaksi kolmasosaa. Anthropic itse ei usko, että menetelmä riittää koko hypoteesin todistamiseen. Tuloksella ei myöskään ole vaikutusta alkulukuihin perustuvaan salaukseen.
